백준 2086번: 피보나치 수의 합

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2086번: 피보나치 수의 합

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이 문제에서 요구하는 피보나치 수의 성질은 사실 다른 문항에 소개되어 있습니다.

(백준 11238번: Fibo)

 

즉, $ \sum_{i = 1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1 $ 입니다. (증명은 수학적 귀납법으로 간단하게 가능합니다.)

 

이 식을 조금 변형하여 다음과 같이 우리가 원하는 바를 얻을 수 있습니다.

 

$ \sum_{i=a}^{b}F_{i}=\sum_{i=1}^{b}F_{i}-\sum_{i=1}^{a-1}F_{i}=F_{b+2}-F_{a+1} $

 

이때 주의해야할 점이 있는데,

 

만약 $ F_{b+2} < F_{a+1} $ (mod $ 10^{9} $) 인 경우 양수로 출력해야 하기 때문에 결과에 $ 10^{9} $ 를 더해야 정답이 나옵니다.

 

결과적으로 코드는 다음과 같습니다.

 

#include <stdio.h>

typedef struct {
	long long array[2][2]; // 2x2 square matrix
} Matrix;

Matrix matrix_multiply_modular (Matrix A, Matrix B, long long M); // AB , 2x2 square matrix
Matrix matrix_power_modular (Matrix A, long long K, long long M); // A^K , 2x2 square matrix

long long Get_Fibonacci (long long N); // Nth Fibonacci number

int main() {
	long long a, b;
	scanf("%lld %lld", &a, &b);
	long long result = Get_Fibonacci(b+2) - Get_Fibonacci(a+1);
	if (result < 0) {
		result += 1000000000;
	}
	printf("%lld", result); // F(1) + F(2) + .. + F(n) = F(n+2) - 1
	return 0;
}

Matrix matrix_multiply_modular (Matrix A, Matrix B, long long M) { // AB, 2x2 square matrix
	Matrix result;
	int i, j, k;
	for (i = 0; i < 2; i++) {
		for (j = 0; j < 2; j++) {
			result.array[i][j] = 0;
			for (k = 0; k < 2; k++) {
				long long temp = (A.array[i][k] * B.array[k][j]) % M;
				result.array[i][j] = (result.array[i][j] + temp) % M;
			}
		}
	}
	return result;
}

Matrix matrix_power_modular (Matrix A, long long K, long long M) {
	Matrix result;
	result.array[0][0] = result.array[1][1] = 1;
	result.array[0][1] = result.array[1][0] = 0;
	while (K > 0) {
		if (K & 1) {
			result = matrix_multiply_modular (result, A, M);
		}
		A = matrix_multiply_modular (A, A, M);
		K >>= 1;
	}
	return result;
}

long long Get_Fibonacci (long long N) {
	Matrix Base;
	Base.array[0][0] = Base.array[0][1] = Base.array[1][0] = 1;
	Base.array[1][1] = 0;
	int i, j;
	Matrix Fibonacci = matrix_power_modular (Base, N, 1000000000);
	return Fibonacci.array[0][1];
}

 

(C11, 1116KB, 0ms, 제출번호 25591685)

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피보나치 수의 성질에 대해 알아가는 문제로 활용하면 충분하다고 생각합니다.

 

하지만 다른 비슷한 문제들은 골드2를 받았는데 이 문제만 골드1인 건 조금 이질감이 드는 것 같습니다.